Définition
Définition d'un idéal :
- soit \(\mathcal A\) un anneau
- soit \(I\subset \mathcal A\)
- \(I\) est un sous-groupe de \((\mathcal A,+)\)
- $$\forall(x,a)\in I\times \mathcal A,\qquad xa,ax\in I$$
$$\Huge\iff$$
- on dit que \(I\) est un idéal de \(\mathcal A\)
Autres définitions
Idéal principalIdéal propreIdéal premierIdéal maximal
Propriétés
Intersection
Intersection des idéaux :
- soient \(I_1,I_2\) des idéaux
$$\Huge\iff$$
- \(I_1\cap I_2\) est un idéal
Idéal engendré par un sous-ensemble
Définition :
Soit \(\mathcal A\) un anneau
Pour une partie \({\mathcal B}\subset\mathcal A\), on peut définir l'idéal engendré par \({\mathcal B}\) comme l'intersection de tous les idéaux de \(\mathcal A\) contenant \({\mathcal B}\)
Proposition :
L'idéal engendré par \(\{a\}\) est \(a\mathcal A\)
Notation :
On note \((a)\) l'idéal engendré par \(\{a\}\)
Lien avec le groupe des inversible
Proposition :
Soit \(I\) un idéal de \(\mathcal A\)
On a les équivalences : $$\begin{align} &{{I=\mathcal A}}\\ \iff&{{1\in I}}\\ \iff&{{\mathcal A^\times\cap I\ne\varnothing}}\end{align}$$
(
Anneau (Groupe des inversibles))
Idéaux d'un corps
Idéaux d'un corps :
- soit \(\mathcal A\) un corps
$$\Huge\iff$$
- les seuls idéaux de \(\mathcal A\) sont \(\{0\}\) et \(\mathcal A\)
Somme d'idéaux
Proposition :
Soit \((\mathcal A,+,\times)\) un anneau et \((I_k)_{1\leqslant k\leqslant n}\) une famille d'idéaux de \(\mathcal A\)
Alors \(\displaystyle I_1+\dots+I_n=\sum^n_{k=1}I_k\) est l'idéal engendré par \(\displaystyle\bigcup^n_{k=1}I_k\)
